Racah 代数的 Casimir 元素

令 $\mathbb{F}$ 表示特征 ${\rm char\,}\mathbb{F}\not=2$ 的域。Racah 代数 $\mathfrak{R}$ 是由生成元与关系如下定义的单位结合 $\mathbb{F}$-代数。生成元为 $A$、$B$、$C$、$D$。关系断言 $$[A,B]=[B,C]=[C,A]=2D$$ 且下列元素中的每一个 \begin{gather*} \alpha=[A,D]+AC-BA, \qquad \beta=[B,D]+BA-CB, \qquad \gamma=[C,D]+CB-AC \end{gather*} 在 $\mathfrak{R}$ 中为中心元。此外元素 $\delta=A+B+C$ 在 $\mathfrak{R}$ 中为中心元。该代数 $\mathfrak{R}$ 由 Genest-Vinet-Zhedanov 引入。我们对其设定作轻微改动，将 \begin{equation*} D^2+A^2+B^2 +\frac{(\delta+2)\{A,B\}-\{A^2,B\}-\{A,B^2\}}{2} +A (\beta-\delta) +B (\delta-\alpha)+\mathfrak{C} \end{equation*} 中的每个元素称为 $\mathfrak{R}$ 的 Casimir 元素，其中 $\mathfrak{C}$ 是由 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$、$\delta$ 生成的 $\mathfrak{R}$ 的交换子代数。本文的主要结果如下。下列互异元素中的每一个都是 $\mathfrak{R}$ 的 Casimir 元素： \begin{align*} \Omega_A = D^2 + \frac{B A C +C A B}{2} + A^2 +B \gamma -C \beta -A \delta, \Omega_B = D^2 + \frac{C B A +A B C}{2} + B^2 +C \alpha -A \gamma -B\delta, \Omega_C = D^2 + \frac{A C B +B C A}{2} + C^2 +A \beta -B\alpha -C\delta. \end{align*} 集合 $\{\Omega_A,\Omega_B,\Omega_C\}$ 在 $\mathfrak{R}$ 上忠实 $D_6$-作用之下不变。此外我们证明任意 Casimir 元素 $\Omega$ 在 $\mathfrak{C}$ 上代数无关；若 ${\rm char\,}\mathbb{F}=0$ 则 $\mathfrak{R}$ 的中心为 $\mathfrak{C}[\Omega]$。