Racah 代数 R($\boldsymbol{n}$) 的嵌入与超可积性

秩-$1$ Racah 代数 $R(3)$ 在超可积系统理论中起着关键作用。它作为 $2$-球面上 $3$-参数系统的对称代数出现，从中可通过适当的极限与收缩得到所有 $2$D 二阶共形平坦超可积模型。近来已考虑 $R(3)$ 的高秩推广，即所谓的秩 $n-2$ Racah 代数 $R(n)$，并证明其是 $(n-1)$-球面上一般超可积模型的对称代数。在本工作中，我们展示这样一种代数结构自然作为嵌入在表征 $n$D 含非中心项超可积模型的更大二次代数内而出现。这通过 Racah 与附加生成元的合适（辛或微分）实现，在经典与量子力学中均得以展示。在主要结果中，我们给出了两类 $n$ 维极大超可积模型——Smorodinsky-Winternitz 系统与广义 Kepler-Coulomb 系统——完整对称代数的显式构造。对这两类族，其底层对称代数均为包含 Racah 代数 $R(n)$ 作为子代数的高秩二次代数。生成元间的高阶代数关系在经典与量子框架下也均被获得。这些结果应为进一步理解超可积系统背景下二次代数结构提供新的启示。