$N$ 维 Smorodinsky-Winternitz 模型及相关的高阶二次代数 ${\cal SW}(N)$

$N$ 维 Smorodinsky-Winternitz 系统是一个极大超可积且精确可解的模型，已从多种方法受到研究。该模型已被证明是多可分离的，其波函数由 Laguerre 和 Jacobi 多项式给出。在本文中，我们给出该系统的完整对称代数 ${\cal SW}(N)$，它是一个高阶二次代数，包含最近发现的 Racah 代数 ${\cal R}(N)$ 作为子代数。我们也研究了不同的二次 ${\cal Q}(3)$ 代数及其相关 Casimir 算符的子结构。由此，从这些子结构的振子实现的约束出发，得到了 $N$ 维 Smorodinsky-Winternitz 系统的能谱。我们表明 ${\cal SW}(N)$ 允许基于 Racah 代数 ${\cal R}({ N})$ 的不同子结构集合，它们可独立地用于代数推导该系统的能谱。