量子化与经典正交代数的广义 Gelfand-Tsetlin 模

我们构造了 Gavrilik 与 Klimyk 所定义的非标准 $q$-变形包络代数 $U_q'(\mathfrak{so}_n)$ 的有限维单模的无限维类比,并对经典泛包络代数 $U(\mathfrak{so}_n)$ 做了同样的工作。本文仅考虑 $q$ 不是单位根的情形,以及经典情形中 $q\to 1$ 的情形。推广 Mazorchuk 关于 $\mathfrak{so}_n$ 的工作,我们给出了 $U_q'(\mathfrak{so}_n)$ 与 $U(\mathfrak{so}_n)$ 这些无限维模的有理矩阵系数。我们利用这些具有有理化公式的模将相应代数嵌入到移位算子的斜群代数中。$U_q'(\mathfrak{so}_n)$ 的 Casimir 元由 Gavrilik 与 Iorgov 给出,我们考虑由这些元生成的交换子代数 $\Gamma\subset U_q'(\mathfrak{so}_n)$ 以及相应的子代数 $\Gamma_1\subset U(\mathfrak{so}_n)$。$\Gamma$ 与 $\Gamma_1$ 在各自嵌入到斜群代数下的像等于某群作用下的不变代数。我们利用这些事实证明了 $\Gamma$ 是 $U_q'(\mathfrak{so}_n)$ 的 Harish-Chandra 子代数,且 $\Gamma_1$ 是 $U(\mathfrak{so}_n)$ 的 Harish-Chandra 子代数。