双线性型图的距离正则图的公平划分

我们考虑一种类型的距离正则图 $\Gamma=(X, \mathcal R)$，称为双线性型图。我们假设该图的直径 $D$ 至少为 3。固定相邻顶点 $x,y \in X$。在我们的第一个主要结果中，我们引入了一个公平划分，其包含 $6D-2$ 个子集，具有以下特征：对于公平划分中的每个子集，该子集中的顶点到 $x$ 和到 $y$ 的距离相等。这种公平划分称为 $(x,y)$-划分 $X$。按定义，子本征代数 $T=T(x)$ 由 $\Gamma$ 的玻色-梅斯纳代数和关于 $x$ 的对偶玻色-梅斯纳代数生成。正如我们将看到的，对于 $X$ 的 $(x,y)$-划分，子集的特征向量形成 $T$-模 $U=U(x,y)$ 的一组基。我们第二个主要结果是将 $U$ 分解为不可约 $T$-模的正交直和。该和包含五个分量：原始 $T$-模和四个端点为 1 的不可约 $T$-模。我们证明了每个端点为 1 的不可约 $T$-模都与非原始分量中的恰好一个同构。