正则图的公平划分与正规 Cayley 图中的完美集

图的公平划分是指将其顶点集合划分为 $\{V_1, \ldots, V_m\}$，使得对于每个 $i, j$，$V_i$ 中所有顶点的 $V_j$ 中邻居数相同。当 $m=2$ 时，$V_1$ 称为图 $\Ga$ 中的 $(a, b)$ 完美集，其中 $a$ 为 $V_1$ 中每个顶点的邻居数，$b$ 为 $V_2$ 中每个顶点的邻居数。本文首先推导正则图容纳两个公平划分的一般必要条件。作为推论，我们获得了以任意公平划分为条件，正则图中是否存在 $(a,b)$ 完美集的必要条件。借助这些结果，我们进一步以底层群的不可约字符为条件，获得正规 Cayley 图中是否存在 $(a,b)$ 完美集的必要条件。