关于完美2-着色的极值性质

图顶点的一种着色称为完美的，如果对于每个顶点，其邻居的颜色集合仅依赖于其自身的颜色。相应的顶点颜色划分称为均衡划分。我们注意到若干界（Hoffman界、Cheeger界、Bierbrauer--Friedman界等）仅在完美$2$-着色上达到。我们证明扩展混合引理是产生完美$2$-着色的另一个不等式例子。对于充分正则图$G$，我们证明了具有固定平均内部度的$S\subset V(G)$大小的一个新上界。该界在集合$S$上达到当且仅当$\{S, V(G)\setminus S\}$是一个均衡划分。