关于凯莱图中的正则集

设 $\Ga = (V, E)$ 为一图，$a, b$ 为非负整数。$\Ga$ 中的一个 $(a, b)$-正则集是指 $V$ 的一个非空真子集 $D$，使得 $D$ 中每个顶点在 $D$ 内恰有 $a$ 个邻点，且 $V \setminus D$ 中每个顶点在 $D$ 内恰有 $b$ 个邻点。$(0,1)$-正则集称为完美码、高效支配集或独立完美支配集。群 $G$ 的一个子集 $D$ 若在某凯莱图中是 $(a, b)$-正则集，则称为 $G$ 的 $(a,b)$-正则集；若它同时是 $G$ 的子群，则该凯莱图中的 $(a, b)$-正则集称为子群 $(a, b)$-正则集。本文研究凯莱图中的 $(a, b)$-正则集，重点关注 $(0, k)$-正则集，其中 $k \ge 1$ 为整数。除其他结果外，我们确定了群的非平凡真正规子群何时为该群的 $(0, k)$-正则集。我们还确定了二面体群与广义四元数群的所有子群 $(0, k)$-正则集。对超立方体或 $n$ 个长为 $p$ 的圈之笛卡尔积（其中 $p$ 为奇素数），我们给出了其容许 $(0, k)$-正则集的充要条件。我们的结果将完美码方面的若干已知结论推广到了 $(0, k)$-正则集。