关于 Cayley 图中正则集的注记

图 $\Gamma$ 顶点集的一个子集 $R$ 若诱导出 $\kappa$-正则子图且 $R$ 外的每个顶点恰与 $R$ 中 $\tau$ 个顶点相邻，则称其为 $(\kappa,\tau)$-正则集。特别地，若 $R$ 是有限群 $G$ 上某 Cayley 图的 $(\kappa,\tau)$-正则集，则称 $R$ 为 $G$ 的 $(\kappa,\tau)$-正则集。设 $H$ 为 $G$ 的非平凡正规子群，$\kappa$ 与 $\tau$ 为一对满足 $0\leq\kappa\leq|H|-1$、$1\leq\tau\leq|H|$ 且 $\gcd(2,|H|-1)\mid\kappa$ 的整数。证明：(i) 若 $\tau$ 为偶数，则 $H$ 是 $G$ 的 $(\kappa,\tau)$-正则集；(ii) 若 $\tau$ 为奇数，则 $H$ 是 $G$ 的 $(\kappa,\tau)$-正则集当且仅当其为 $G$ 的 $(0,1)$-正则集。