图自同构与量子仿射代数的典范基

设 ${\mathbf U}^-_q$ 为与单弦 Kac-Moody Lie 代数 ${\mathfrak g}$ 关联的量子包络代数的负部，$\underline{\mathbf U}^-_q$ 为对应于由 ${\mathfrak g}$ 上图自同构 $\sigma$ 所得不动点子代数的代数。设 ${\mathbf B}^{\sigma}$ 为 ${\mathbf U}_q^-$ 典范基中 $\sigma$-不动元之集，$\underline{\mathbf B}$ 为 $\underline{\mathbf U}_q^-$ 的典范基。Lusztig 基于其典范基的几何构造证明了存在典范双射 ${\mathbf B}^{\sigma} \simeq \underline{\mathbf B}$。本文在 ${\mathfrak g}$ 为有限型或仿射型的情形下，以初等方式证明此事实（带符号基版本），即我们不诉诸典范基的几何理论亦或 Kashiwara 的晶体基理论。我们还借助 Muthiah-Tingley 得到的 ${\mathbf U}_q^-$ 的一类新型 PBW 基（其为 Beck-Nakajima 构造的 PBW 基的推广）讨论 PBW 基之间的对应。