驯化箭图的表示与仿射典范基

Zhang [Z] 和 Chen [C] 利用 Kronecker 箭图的 Auslander-Reiten 箭图构造了 $A_1^{(1)}$ 型的一个整 PBW 基。我们沿用 Lusztig [L1] 在有限型情形中的思想,为该基中的元素赋予一个几何序。由此给出 $\uq2$ 的一个 bar 不变基的代数实现。对于任意仿射对称型,我们利用 [DDX] 中对管中整基的代数构造、将 Kronecker 箭图的模范畴嵌入驯化箭图模范畴,以及按驯化箭图 Auslander-Reiten 箭图的预投射、预注入和正则分支列出不可分解模的根向量,得到一般复合代数的整 PBW 基。当基元素的排序与由轨道簇维数和扩张簇维数给出的几何序相容时,我们可以证明 PBW 基与单项基之间的转换矩阵是三角矩阵,且对角元均为 1,从而得到一个 bar 不变基。最后,通过对该 PBW 基关于内积作正交化,我们给出一种代数方法,实现所有对称仿射 Kac-Moody 李代数量子包络代数的典范基。