量子化函数代数的表示及由典范基到 PBW 基的转移矩阵

设 $G$ 为连通单连通单复代数群，$\mathfrak{g}$ 为相应的单 Lie 代数。在本文前半部分，我们考虑量子化包络代数 $U_q(\mathfrak{g})$ 的正部 $U_q(\mathfrak{n^+})$ 与量子化函数代数 $\mathbb{Q}_q[G]$ 的特定不可约表示之间的关系，并顾及 $\mathbb{Q}_q[G]$ 的右 $U_q(\mathfrak{g})$-代数结构。此工作受 Kuniba、Okado 与 Yamada 以及 Tanisaki 与 Saito 的结果所推动。在后半部分，我们利用上述关系计算从 $U_q(\mathfrak{n^+})$ 的典范基到 PBW 基的转移矩阵。由此，我们表明计算中出现的常数由 $U_q(\mathfrak{g})$ 的余乘法结构常数描述。特别地，当 $\mathfrak{g}$ 为 $ADE$ 型时，该结果蕴含转移矩阵的正性，这最初由 Lusztig 在 PBW 基与 Weyl 群最长元的适配约化词相关联的情形证明，并由 Kato 在任意情形证明。事实上，我们计算中的常数与利用 $U_q(\mathfrak{n}^{\pm})$ 上双线性形式计算所出现的常数一致。我们在附录中解释此一致性。