量子化外尔代数、双中心化子性质及 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 的一个新第一基本定理

令 $\mathcal P:=\mathcal P_{m\times n}$ 表示 $m\times n$ 矩阵空间的量子化坐标环，配备有量子化包络代数 $U_q(\mathfrak{gl}_m)$ 和 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 的自然作用。令 $\mathcal L$ 和 $\mathcal R$ 分别表示 $U_q(\mathfrak{gl}_m)$ 和 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 在 $\mathrm{End}(\mathcal P)$ 中的像。我们在 $\mathrm{End}(\mathcal P)$ 内部定义了多项式系数微分算子代数的 $q$-类似物，此后记为 $\mathcal{PD}$，并证明了 $\mathcal L\cap \mathcal{PD}$ 和 $\mathcal{R}\cap \mathcal{PD}$ 在 $\mathcal{PD}$ 内部是相互中心化子。利用这一点，我们建立了 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 不变量理论的一个新的第一基本定理。我们还用 $q$-行列式给出了 $U_q(\mathfrak{gl}_m)$ 和 $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ 的嘉当子代数的像与 $\mathcal{PD}$ 的交集的生成元的显式公式。