量子一般线性超群的不变量理论第一与第二基本定理

我们为量子一般线性超群 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 发展了不变量理论的非交换多项式版本。构造了一个非交换 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-模超代数 $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$，它是 $\mathbb{C}^{k|l}\otimes \mathbb{C}^{m|n}\oplus \mathbb{C}^{r|s}\otimes (\mathbb{C}^{m|n})^{\ast}$ 上超对称代数的量子类似物。我们利用 Howe 对偶的量子超类似分析了 $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ 中 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变量子代数的结构。证明了 $\mathcal{P}^{k|l}_{\,r|s}$ 中 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$-不变量子代数是有限生成的。我们确定了其生成元，并建立了一个从辫子超对称代数到该子代数的满射超代数同态。这建立了 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 不变量理论的第一基本定理。我们证明上述超代数同态是同构当且仅当 $m\geq \min\{k,r\}$ 且 $n\geq \min\{l,s\}$，并在该情形下获得了不变量子代数的一组单项式基。当同态不是单射时，我们给出了与划分 $((m+1)^{n+1})$ 相关联的核的生成元的表示论描述，从而产生了 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m|n})$ 不变量理论的第二基本定理。我们考虑了结果的两个应用。作为 $n=0$ 的特殊情形，我们得到了 ${\rm{ U}}_q(\mathfrak{gl}_{m})$ 不变量理论的非交换多项式版本的完整处理，其中证明了一个显式的第二基本定理，我们相信这是新的。一般线性超代数不变量理论的第一和第二基本定理可从我们结果的经典（即 $q\to 1$）极限中恢复。