Hopf 代数的双交叉积分类

设 $A$ 和 $H$ 为两个 Hopf 代数。我们将通过上同调型对象 ${\mathcal H}^{2} (A, H)$，在稳定 $A$ 的同构意义下，对所有可经由 $A$ 和 $H$ 分解的 Hopf 代数 $E$ 进行分类。等价地，在左 $A$-线性 Hopf 代数同构的意义下，我们对与所有可在 $A$ 和 $H$ 之间定义的 Hopf 代数匹配对 $(A, H, \triangleleft, \triangleright)$ 相关联的所有双交叉积 $A \bowtie H$ 的集合进行分类。在 ${\mathcal H}^{2} (A, H)$ 的构造中，$CoZ^{1} (H, A) \times \Aut_{\rm CoAlg}^1 (H)$ 的特殊元素起到了关键作用，其中 $CoZ^{1} (H, A)$ 是幺余中心映射群，$\Aut_{\rm CoAlg}^1(H)$ 是余代数 $H$ 的幺自同构群。在若干应用与示例中，所有双交叉积 $H_4 \bowtie k[C_n]$ 均由生成元与关系描述并予以分类：它们是单位根处的量子群 $H_{4n, \omega}$，由环 $\mathbb{Z}_n$ 的纯算术性质分类。Dirichlet 素数定理被用于统计此类 $4n$ 维量子群族的同构类型数目。作为我们方法的一个推论，Hopf 代数自同构群 $\Aut_{\rm Hopf}(H_{4n, \omega})$ 得到了完整刻画。