Hopf代数的统一积与分裂扩张

统一积在\cite{am3}中被定义，与Hopf代数的限制扩张结构问题相关：一个Hopf代数$E$可以通过一个Hopf子代数$A$和一个满足$1\in H$的子余代数$H$分解因子，当且仅当$E$同构于统一积$A \ltimes H$。利用Andruskiewitsch和Devoto意义上的余代数态射正规性概念，我们从Hopf代数分裂态射的角度证明了统一积的等价刻画。一个Hopf代数$E$同构于统一积$A \ltimes H$，当且仅当存在一个Hopf代数态射$i: A \rightarrow E$，它具有一个收缩$\pi: E \to A$，该收缩是正规的左$A$-模余代数态射。我们证明了典范态射$i : A \to A\ltimes H$成为双代数分裂单态射的充分必要条件，即统一积$A\ltimes H$同构于Radford双积$L \ast A$的条件，其中$L$是Yetter-Drinfel'd模范畴$_{A}^{A}{\mathcal YD}$中的某个双代数。作为推论，我们提出了一种构造统一积的一般方法，该统一积产生自一个作为右$A$-模余代数的酉（未必结合）双代数$H$以及满足四个相容性条件的酉余代数映射$\gamma : H \to A$。文中详细计算了一个关于群$G$、带点右$G$-集$(X, \cdot, \lhd)$和映射$\gamma : G \to X$的此类例子。