代数 Bernstein 代数与 Kurosh 问题

我们研究代数 Bernstein 代数类，其意义为每个元素生成一个有限维子代数。每个 Bernstein 代数都有一个极大代数理想，且商代数为零乘代数。给出了 Bernstein 代数为代数的若干等价条件。特别地，已知的关于 train Bernstein 代数在幂零性方面的刻画被推广到局部 train 代数的情形。在此过程中，我们证明若一个 Banach Bernstein 代数是代数的（分别为局部 train），则它是有界次数的（分别为 train）。随后我们研究 Bernstein 代数的 Kurosh 问题：一个有限生成且有界次数代数的 Bernstein 代数是否有限维。该问题被发现与关于结合代数的一个问题有紧密关联。特别地，当 barideal 为幂零时，Kurosh 问题询问有限生成的 Bernstein-train 代数是否有限维。我们证明对一些特定情形与低次情形答案为肯定，并在一般情形构造反例。由 Yagzhev 的结果，Jacobian 猜想等价于关于多算子代数的 Engel 与幂零恒等式的某一陈述。我们证明关于二次映射的广义 Jacobian 猜想对 Bernstein 代数成立。