关于离散群上 Beurling 代数的 Dales-Zelazko 猜想

设 $G$ 为一个 virtually soluble（ virtually 可解）或 virtually free（virtually 自由）的群，$\omega$ 为 $G$ 上的一个权函数。我们证明，若 $G$ 是无限的，则 Beurling 代数 $\ell^1(G, \omega)$ 中存在某个有限余维的极大左理想，其不是（代数上）有限生成的。这意味着 Dales 与 Zelazko 的猜想对这些 Banach 代数成立。接着我们给出一些加权群的例子，其中该性质以强烈的方式失效。例如，我们描述了一个无限群上的 Beurling 代数，其中每个有限余维左理想都是有限生成的，并且该代数在剩余有限维意义下具有许多这样的理想。这些例子似乎是证明 Dales 与 Zelazko 猜想的困难情形。