自由结合代数中的循环不变量

设 $K\langle X_d\rangle$ 为秩 $d \geq 2$ 的域 $K$ 上的自由结合代数。1976 年，Lane 以及 1978 年，Kharchenko 证明了代数不变量 $K\langle X_d\rangle^G$ 对任意子群 $G \leq \text{GL}_d(K)$ 以及任意域 $K$ 都是自由的。随后，Kharchenko 在 $K\langle X_d\rangle$ 的次数为 $n$ 的齐次分量上引入了对称群 $\text{Sym}(n)$ 的额外作用，即通过置换变量的位置来实现。这使 $K\langle X_d\rangle$ 具备了 $(K\langle X_d\rangle,\circ)$-$S$-代数结构。然后，Koryukin 证明了对于每个仰射群 $G$，代数不变量 $K\langle X_d\rangle^G$ 相对于该作用是有限生成的。在本文中，我们研究了特征为 0 的任意域 $K$ 上循环群 $C_d$ ($d\geq 2$) 的不变量代数 $K\langle x_1,\ldots,x_d\rangle^{C_d}$。我们计算了 $K\langle x_1,\ldots,x_d \rangle^{C_d}$ 的 Hilbert 系列。当 $K=\mathbb C$ 时，我们找到了 ${\mathbb C}\langle x_1,\ldots,x_d \rangle^{C_d}$ 的向量空间基，并明确描述了 ${\mathbb C}\langle x_1,\ldots,x_d \rangle^{C_d}$ 作为自由代数的生成元。此外，我们描述了 $S$-代数 $({\mathbb C}\langle x_1,\ldots,x_d \rangle^{C_d},\circ)$ 的有限生成集。我们还将 $K=\mathbb C$ 的结果推广到特征为 0 的任意域，以得到 $S$-代数 $(K\langle x_1,x_2,x_3 \rangle^{C_3},\circ)$，并找到其作为 $S$-代数的最小生成集。