作用于诺特相对自由代数的幂幺变换的不变量

Weitzenboeck 经典定理指出，在特征为 0 的域 K 上的多项式代数 $K[x_1,...,x_m]$ 中，$GL_m(K)$ 的单个幂幺变换 $g$ 的不变量代数是有限生成的。近来作者与 C.K. Gupta 开始了结合代数簇中秩为 m 的相对自由代数的 $g$-不变量代数的研究。他们证明了若该簇包含 $2\times 2$ 上三角矩阵代数 $UT_2(K)$，则不变量代数不是有限生成的。本文的主要结果是：不变量代数是有限生成的，当且仅当该簇不包含代数 $UT_2(K)$。作为证明的副产品，我们还确立了由 m 个通用 $n\times n$ 矩阵及其乘积的迹生成的混合迹代数的 $g$-不变量代数的有限生成性。