有限群作用于（自由）斜域上的不变量

设 $M$ 为域 $k$ 上有限生成的斜域，$G$ 为 $M$ 的 $k$-线性自同构有限群。本文研究了 $M$ 中 $G$-不变元构成的斜子域 $M^G$ 的有限生成性及其生成元之间的关系。第一个主要结果表明 $M^G$ 是有限生成的。当 $M$ 为自由斜域（即自由代数的通用斜分式域）时，可得出更强的结论。第二个主要结果是解决了非模线性群作用下的自由 Noether 问题：若 $G$ 在 $m$ 个生成元的自由斜域 $M$ 上线性作用，且 $k$ 的特征不整除 $|G|$，则 $M^G$ 是具有 $|G|(m-1)+1$ 个生成元的自由斜域。作为对比，本文构造了 $Z_2$ 在两个生成元的自由斜域 $M$ 上的一个非线性作用，使得 $M^{Z_2}$ 不是自由斜域，从而解决了自由 Lüroth 问题。该作用还揭示了 $M$ 中一个非标量元素，其中心化子不是有理域，从而否定了 P. M. Cohn 于 1978 年提出的一个猜想。