II_1 因子的生成元

2005 年，Shen 引入了一种新的不变量 $\mathcal G(N)$，用于具有固定忠实迹的扩散 von Neumann 代数 $N$，并利用该不变量提供了一种统一方法，证明大类的 ${\mathrm{II}}_1$ 因子 $M$ 是单生成的。本文聚焦于该不变量的性质。我们将 $\mathcal G(M)$ 与 ${\mathrm{II}}_1$ 因子 $M$ 的自伴生成元数量联系起来：若 $\mathcal G(M)<n/2$，则 $M$ 由 $n+1$ 个自伴算子生成；反之，若 $M$ 由 $n+1$ 个自伴算子生成，则 $\mathcal G(M)\leq n/2$。不变量 $\mathcal G(\cdot)$ 在放大下表现良好，满足对所有 $t>0$ 有 $\mathcal G(M_t)=t^{-2}\mathcal G(M)$。特别地，若对任何特定的 $r>1$ 有 $\mathcal G(\mathcal L\mathbb F_r)>0$，则自由群因子在两两之间不同构，且对于足够大的 $r$ 值不是单生成的。文中给出了关于形成自由积、过渡到有限指数子因子以及基本构造的估计。我们还考察了仅使用自伴算子定义的不变量版本 $\mathcal G_{\text{sa}}(M)$；证明其满足 $\mathcal G_{\text{sa}}(M)=2\mathcal G(M)$。最后，我们给出了涉及 $\mathcal G(M)$ 计算的量与 $M$ 的一组生成元的自由熵维数 $\delta_0$ 之间的关系不等式。