关于一类具有 Betti 数不变量的 II$_1$ 型因子

我们证明一个 II$_1$ 型因子 $M$ 至多有一个满足刚性性质与紧逼近性质组合的 Cartan 子代数 $A$。我们利用此结果证明，在具有此类 Cartan 子代数 $A \subset M$ 的因子类 $\Cal H \Cal T$ 中，与 $A \subset M$ 相关联的标准等价关系的 Betti 数（[G2]）事实上是因子 $M$ 的同构不变量，$\beta^{^{HT}}_n(M), n\geq 0$。类 $\Cal H\Cal T$ 在放大与张量积下封闭，其 Betti 数满足 $\beta^{^{HT}}_n(M^t)= \beta^{^{HT}}_n(M)/t, \forall t>0$，以及一个 K{\ddot u}nneth 型公式。类 $\Cal H\Cal T$ 中因子的一个例子由群 von Neumann 因子 $M=L(\Bbb Z^2 \rtimes SL(2, \Bbb Z))$ 给出，对此 $\beta^{^{HT}}_1(M) = \beta_1(SL(2, \Bbb Z)) = 1/12$。因此，$M^t \not\simeq M, \forall t \neq 1$，表明 $M$ 的基本群是平凡的。这解决了 R.V. Kadison 的一个长期问题。此外，我们的结果对 A. Connes 近期的一个问题有所洞见，并回答了关于 von Neumann 代数的若干公开问题。