无额外结构的中间子因子

若 $N \subset P,Q \subset M$ 为 type II_1 因子，满足 $N' \cap M = C id$ 且 $[M:N]$ 有限，我们证明：对初等包含 $N \subset P$、$N \subset Q$、$P \subset M$ 与 $Q \subset M$ 的标准不变量的限制，会对指标及子因子之间的夹角施加剧烈的限制。特别地，我们证明若这些标准不变量是平凡的，且到 $P$ 与 $Q$ 上的条件期望不交换，则 $[M:N]$ 为 6 或 $6 + 4\sqrt 2$。在前一种情形中，$N$ 是 $S_3$ 在 $M$ 上的外作用的定点代数且夹角为 $\pi/3$；在后一种情形中夹角为 $cos^{-1}(\sqrt 2-1)$，并可于 GHJ 子因子族中找到一个例子。证明技术严重依赖于平面代数。