特征值重合与无重球面对

在最近的工作中，我们将由特征值重合定义的 $n\times n$ 复矩阵子簇结构与 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ 旗流形上的 $GL(n-1,\mathbb{C})$-轨道联系起来。在本文第一部分中，我们将这些结果推广到复正交李代数 $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(n,\mathbb{C})$。在本文第二部分中，利用这些结果研究 $(\mathfrak{g}, K)$ 为 $(\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C}), GL(n-1,\mathbb{C}))$ 或 $(\mathfrak{so}(n,\mathbb{C}), SO(n-1,\mathbb{C}))$ 情形下 $\mathfrak{g}$ 上 $K$-作用的几何与不变量理论。我们研究了几何商 $\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}//K$，描述了 $\mathfrak{g}$ 上的闭 $K$-轨道以及零纤维的结构。我们还证明了对于 $x\in \mathfrak{g}$，$K$-轨道 $Ad(K)\cdot x$ 具有最大维数当且仅当不变量环 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^{K}$ 的代数独立生成元在 $x$ 处线性无关，这推广了 Kostant 的一个定理。最后，我们将结果应用于 Gelfand-Zeitlin 系统。