自由亚交换李代数的经典不变量理论

设 $KX_d$ 为特征 0 的域 $K$ 上以 $X_d=\{x_1,\ldots,x_d\}$ 为基的向量空间。经典不变量理论的主要课题之一是研究不变量代数 $K[X_d]^{SL_2(K)}$，其中 $KX_d$ 是特殊线性群 $SL_2(K)$ 的模，同构于直和 $V_{k_1}\oplus\cdots\oplus V_{k_r}$，而 $V_k$ 是 $k$ 次二元型的 $SL_2(K)$-模。非交换不变量理论研究群 $G<GL_d(K)$ 作用于 $K$-代数簇 $\mathfrak V$ 的相对自由代数 $F_d(\mathfrak V)^G$。在本文中，我们考虑自由亚交换李代数 $F_d(\mathfrak A^2)$，它是亚交换（2 类可解）李代数簇 $\mathfrak A^2$ 中的相对自由代数。我们研究 $F_d(\mathfrak A^2)$ 的 $SL_2(K)$-不变量代数 $F_d(\mathfrak A^2)^{SL_2(K)}$。我们描述了该代数有限生成的情形。这当且仅当 $KX_d\cong V_1\oplus V_0\oplus\cdots\oplus V_0$ 或 $KX_d\cong V_2$ 作为 $SL_2(K)$-模时成立（以及平凡情形 $KX_d\cong V_0\oplus\cdots\oplus V_0$）。对于小的 $d$，即使 $F_d(\mathfrak A^2)^{SL_2(K)}$ 不是有限生成的，我们也给出了一组生成元列表。用于证明代数 $F_d(\mathfrak A^2)^{SL_2(K)}$ 非有限生成的方法也适用于其他相对自由代数 $F_d(\mathfrak V)$ 和其他群 $G$。