自由亚交换李代数的 Nowicki 猜想

设 $K[X_d]=K[x_1,\ldots,x_d]$ 为特征 0 的域 $K$ 上 $d$ 个变量的多项式代数。Weitzenböck 1932 年的经典定理指出,对于线性局部幂零导子 $\delta$(称为 Weitzenböck 导子),常数代数 $K[X_{d}]^{\delta}$ 是有限生成的。当 Weitzenböck 导子 $\delta$ 通过 $\delta(y_i)=x_i$, $\delta(x_i)=0$, $i=1,\ldots,d$ 作用于 $2d$ 个变量的多项式代数 $K[X_d,Y_d]$ 时,Nowicki 猜想 $K[X_d,Y_d]^{\delta}$ 由 $X_d$ 和所有 $1\leq i<j\leq d$ 的 $x_iy_j-y_ix_j$ 生成。已有基于不同思想证实该猜想的若干证明。考虑自由 $d$ 生成亚交换李代数 $F_d$ 的任意 Weitzenböck 导子,除少数平凡例外,$F_d^{\delta}$ 不是有限生成的。然而,交换子理想 $F_d'$ 的子空间 $(F_d')^{\delta}$ 作为 $K[X_d]^{\delta}$-模是有限生成的。本文研究李代数设定中 Nowicki 猜想的类似形式,并给出 $K[X_d,Y_d]^{\delta}$-模 $(F_{2d}')^{\delta}$ 的一组显式生成元。