代数代数的LNED与LFED猜想

设$K$为特征零的域，$\mathcal A$为$K$-代数，使得由$\mathcal A$中有限个元素生成的全体$K$-子代数在$K$上有限维。$\mathcal A$的$K$-$\mathcal E$-导子是具有$\operatorname{I}-\phi$形式的$K$-线性映射，其中$\phi$为$\mathcal A$的某个$K$-代数自同态，$\operatorname{I}$表示$\mathcal A$的恒等映射。本文首先证明，对于所有局部有限$K$-导子$D$和$\mathcal A$的局部有限$K$-代数自同构$\phi$，$D$与$\operatorname{I}-\phi$的像不包含$\mathcal A$的任何非零幂等元。然后我们利用此结果证明了[Z4]中提出的LFED和LNED猜想的若干情形。更确切地说，我们证明了$\mathcal A$的LNED猜想，以及$\mathcal A$的所有局部有限$K$-导子和所有形如$\delta=\operatorname{I}-\phi$（$\phi$为满射）的局部有限$K$-$\mathcal E$-导子的LFED猜想。特别地，两个猜想对所有有限维$K$-代数均得证。此外，还建立了导子与自同构分别到内导子与内自同构的一些有限扩张。该结果不仅在上述结论的证明中至关重要，其本身也颇具意义。