Laurent 多项式代数的 LFED 与 LNED 猜想

设 $R$ 为特征零整环，$x=(x_1, x_2, ..., x_n)$ 为 $n$ 个交换自由变量，且 ${\mathcal A}_n:=R[x^{-1}, x]$，即 $R$ 上关于 $x$ 的 Laurent 多项式代数。本文首先分类 ${\mathcal A}_n$ 的所有局部有限或局部幂零 $R$-导子与 $R$-$\mathcal E$-导子，其中 ${\mathcal A}_n$ 的 $R$-$\mathcal E$-导子意指形如 $\operatorname{Id}_{{\mathcal A}_n}-\phi$ 的 $R$-线性映射，$\phi$ 为 ${\mathcal A}_n$ 的某个 $R$-代数自同态。特别地，我们证明 ${\mathcal A}_n$ 没有非零局部幂零 $R$-导子或 $R$-$\mathcal E$-导子。由此，[Z4] 中针对 ${\mathcal A}_n$ 提出的 LNED 猜想成立。进而我们展示 [Z4] 中针对 ${\mathcal A}_n$ 提出的 LFED 猜想的若干情形。特别地，我们证明对于特征零域上含一个或两个交换自由变量的 Laurent 多项式代数，LFED 与 LNED 猜想均成立。