关于局部有限或局部幂零导子与 ${\mathcal E}$-导子的若干开放问题

设 $R$ 为交换环，$\mathcal A$ 为 $R$-代数。$\mathcal A$ 的 $R$-$\mathcal E$-导子是指形如 $\operatorname{I}-\phi$ 的 $R$-线性映射，其中 $\phi$ 为 $\mathcal A$ 的某个 $R$-代数自同态，$\operatorname{I}$ 表示 $\mathcal A$ 的恒等映射。本文讨论若干开放问题：$\mathcal A$ 的局部有限 $R$-导子或 $R$-$\mathcal E$-导子的像是否为 $\mathcal A$ 的 Mathieu 子空间 [Z2, Z3]，以及 $\mathcal A$ 的局部幂零 $R$-导子或 $R$-$\mathcal E$-导子是否将 $\mathcal A$ 的每个理想映射到 $\mathcal A$ 的 Mathieu 子空间。我们提出并讨论两个猜想，指出若基环 $R$ 是特征零的域，则上述两个问题均有肯定答案。我们给出若干例子以说明两个猜想条件的必要性，并讨论文献中已知的某些肯定情形。我们也展示了两个猜想的一些情形。特别地，对于特征零整环的局部有限或局部幂零代数导子与 $\mathcal E$-导子，两个猜想均被证明。