正特征域上的 Mathieu-Zhao 空间

设 $K$ 为特征是 $p$ 的域，$\delta$ 为非零 $\mathcal{E}$-导子，$D=f(x_1)\partial_1$。我们首先证明 $\operatorname{Im}D$ 不是 $K[x_1]$ 的 Mathieu-Zhao 空间当且仅当 $f(x_1)=x_1^rf_1(x_1^p)$ 且 $r\neq 1$。接着我们证明 $\operatorname{Im}\delta$ 是 $K[x_1]$ 的 Mathieu-Zhao 空间当且仅当 $\delta$ 不是局部幂零的。最后，我们对 $K[x_1]$ 的某些幂零导子进行分类，并给出对任意 $K[x_1]$ 的理想 $I$，$D(I)$ 为 $K[x_1]$ 的 Mathieu-Zhao 空间的充要条件。