单演导数及其像

本文中，我们证明：对$K[x,y]$上的导数$D=y\partial_x+(a_2(x)y^2+a_1(x)y+a_0(x))\partial_y$（其中$a_2(x),a_1(x),a_0(x)\in K[x]$），其为单演当且仅当下列条件成立：$(1)$ $a_0(x)\in K^*$，$(2)$ $\deg a_1(x)\geq1$ 或 $\deg a_2(x)\geq1$，$(3)$ 不存在$l\in K^*$使得$a_2(x)=la_1(x)-l^2a_0(x)$。此外，我们证明导数$D=\partial_x+{\sum_{i=1}^n \gamma_i(x) y_i^{k_i}}{\partial_i}$的像为Mathieu-Zhao空间当且仅当$D$局部有限。进而，我们证明$K[y_1,\ldots,y_n]$上导数$D={\sum_{i=1}^n \gamma_i y_i^{k_i}}{\partial_i}$的像为Mathieu-Zhao空间当且仅当对所有$1\leq i\leq n$有$k_i\leq 1$，$n\geq 2$。