关于二元多项式环的交换导子对

设 $k$ 为特征零的任意域，$k[x, y]$ 为多项式环，$D$ 为环 $k[x, y]$ 上的 $k$-导子。回顾一下，如果对于某个多项式 $\lambda \in k[x, y]$ 有 $D(F)=\lambda F$，则称非常数多项式 $F\in k[x, y]$ 为导子 $D$ 的达布多项式。我们证明，环 $k[x, y]$ 上任意两个在域 $k$ 上线性无关的交换 $k$-导子 $D_{1}$ 和 $D_{2}$，要么有一个公共的达布多项式，要么 $D_{1}=D_{u_{1}}, D_{2}=D_{u_{2}}$ 是雅可比导子，即对于每个 $f\in k[x, y], i=1, 2,$ 有 $D_{i}(f)=\det J(u_{i}, f)$，其中多项式 $u_{1}, u_{2}$ 满足条件 $\det J(u_{1}, u_{2})=c\in k^{\star}.$ 这个关于导子的陈述类似于线性代数中关于交换线性算子对的公共特征向量的已知事实。