雅可比导子的中心化子

设$\mathbb K$为特征零的代数闭域，$\mathbb K[x, y]$为变量$x$、$y$的多项式环，令$W_2(\mathbb K)$为$\mathbb K[x, y]$上所有$\mathbb K$-导子构成的李代数。若对任意$h \in \mathbb K[x, y]$，存在$f \in \mathbb K[x, y]$使得$D(h) = \det J(f, h)$（此处$J(f, h)$为$f$与$h$的雅可比矩阵），则称导子$D \in W_2(\mathbb K)$为雅可比导子。该导子记为$D_f$。$D_f$在$\mathbb K[x, y]$中的核为子代数$\mathbb K[p]$，其中$p=p(x, y)$是满足存在$\varphi (t) \in \mathbb K[t]$使$f(x, y) = \varphi (p(x, y)$的次数最小多项式。令$C = C_{W_2(\mathbb K)} (D_f)$为$D_f$在$W_2(\mathbb K)$中的中心化子。我们证明$C$是$\mathbb K[p]$上秩为1或2的自由$\mathbb K[p]$-模，并给出了其为秩2模的判据。这些结果被用于得到一类可积自治微分方程组。