Lie 代数 $W_n(\mathbb{K})$ 的最大子代数

设 $K$ 为特征为零的代数闭域，$A= K[x_1, \dots, x_n]$ 为 $n$ 个变量的多项式环，$W_n(K)$ 为 $A$ 所有 $K$-导数构成的 Lie 代数。该 Lie 代数也是 $A$ 上秩为 $n$ 的自由模，因此 $W_n(K)$ 的每个子代数在 $A$ 上的秩均 $\leq n$。我们证明，$W_n(K)$ 的每个最大子代数（秩 $\leq n$）都是简单 Lie 代数。如果一个最大子代数 $L\subset W_n(K)$ 的秩为 $n$ 且是 $W_n(K)$ 的子模，则 $L$ 不是简单的。此外，$L$ 的形式为 $L=\{ D\in W_n(K) \ | \ D(I)\subseteq I\}$，其中 $I$ 为环 $A$ 的理想。还证明了，对特征为零的环 $K[x, y]$ 上的一个简单导数 $D$，子代数 $K[x, y]D$ 是 $W_2(K)$ 的最大子代数。