李代数 $W_n(K)$ 在 $sl_n(K)$ 上的模结构

设 $\mathbb K$ 为特征为零的代数闭域，$A = \mathbb K[x_1,\dots,x_n]$ 为多项式环，$W_n(\mathbb K)$ 为 $A$ 上所有 $\mathbb K$-导子构成的李代数。李代数 $W_n := W_n(\mathbb K)$ 具有自然分次 $W_n = \bigoplus_{i \ge -1} W^{[i]}_n$，其中 $W^{[i]}_n$ 由系数为 $i+1$ 次齐次多项式或零的所有齐次导子构成。分量 $W^{[0]}_n$ 是 $W_n$ 的子代数且同构于 $\mathfrak{gl}_n(\mathbb K)$。此外，对于 $i \ge -1$，每个 $W_n^{[i]}$ 都是 $W_n^{[0]}$ 上的有限维模。我们证明，对于 $i \ge 0$，$W^{[i]}_n$ 是两个不可约子模之和 $W^{[i]}_n = M_i \oplus N_i$，其中 $M_i$ 由所有无散度导子构成，$N_i$ 由为 Euler 导子 $E_n = \sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial}{\partial x_i}$ 的多项式倍的导子构成。作为推论，我们证明标准分次在某种意义下是精确的，即：除 $i = j = 0$ 外，对所有 $i,j$ 均有 $[W^{[i]}_n, W^{[j]}_n] = W^{[i+j]}_n$。我们还讨论了何时由 $W_n^{[-1]} \oplus W_n^{[0]}$ 连同 $W_n$ 中一个附加元素生成的 $W_n$ 子代数等于整个李代数 $W_n$ 的问题。