Lie 代数 $U_1$ 的 $\mathbb{Z}$-分次恒等式

设 $K$ 为一个特征不等于 2 的无限域，并设 $U_1$ 为 Laurent 多项式代数 $K[t,t^{-1}]$ 的导子 Lie 代数。代数 $U_1$ 具有自然的 $\mathbb{Z}$-分次。我们提供了 $U_1$ 的分次恒等式的一个基，并证明它们不存在任何有限基。此外，如果已知多重线性分次恒等式的基，我们为具有使得每个齐次分量维数 $\leq 1$ 的分次的某些分次 Lie 代数提供了恒等式的基。作为后一结果的推论，我们能够提供多项式环 $K[t]$ 的导子 Lie 代数 $W_1$ 的分次恒等式的基。$W_1$ 在特征 0 下的 $\mathbb{Z}$-分次恒等式已在 \cite{FKK} 中被描述。作为我们结果的推论，我们给出了 \cite{FKK} 中主要结果（定理 1）的另一种证明，并将其推广到正特征。我们还描述了具有 Pauli 分次的特殊线性 Lie 代数 $sl_q(K)$ 的分次恒等式的基，其中 $q$ 为素数。