具有非局部“梯度项”的确定性 KPZ 型方程

本文的主要目标是证明涉及非局部“梯度项”的确定性 Kardar-Parisi-Zhang 型方程的存在性与不存在性结果。更确切地说，设 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N \geq 2$ 为具有 $C^2$ 类边界 $\partial \Omega$ 的有界区域。对于 $s \in (0,1)$，我们考虑如下形式的问题 $$\tag{KPZ} \left\{ \begin{aligned} (-\Delta)^s u & = \mu(x) |\mathbb{D}(u)|^q + \lambda f(x), \quad && \mbox{ in } \Omega,\\ u & = 0, && \mbox{ in } \mathbb{R}^N \setminus \Omega, \end{aligned} \right.$$ 其中 $q > 1$ 和 $\lambda > 0$ 为实参数，$f$ 属于适当的 Lebesgue 空间，$\mu$ 属于 $L^{\infty}(\Omega)$ 且 $\mathbb{D}$ 表示非局部“梯度项”。根据 $\lambda > 0$ 的大小，我们推导了存在性与不存在性结果。特别地，我们解决了 [4, Section 6] 和 [2, Section 7] 中提出的几个开放问题。