二阶非局部抛物型 MEMS 方程的良定性与渐近行为

我们考虑二阶非局部抛物型 MEMS 方程，边值条件为 Dirichlet：$$u_t-\Delta u=\frac{\lambda}{(1-u)^2\bigl(1+\int_\Omega\frac{1}{1-u}\,dx\bigr)^2},\quad x\in\Omega,\ t>0,$$其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ $(1\le N\le3)$ 为有界光滑域，$\lambda>0$。利用算子半群和收缩映射原理，我们证明局部存在性并给出熄灼准则。在适当的 $\lambda$ 及初始数据小条件下，获得全局存在性及对最小稳态的指数收敛。假设全局解在奇点 $u=1$ 处均匀保持距离，我们指出该系统形成梯度系统。通过建立能量的解析性及 Lojasiewicz--Simon 不等式，我们证明解对稳态具有指数或代数收敛率，取决于 Lojasiewicz 指数。1D 和 2D 的数值实验说明了结果并支持关于 $\lambda$-dichotomy 的猜想。