广义 MEMS 器件方程的全局存在性与接触行为

我们证明了广义微机电系统 (MEMS) 方程 $u_t =\Delta u+\lambda f(x)/g(u)$, $u<1$, 在 $\Omega\times (0,\infty)$ 上，$u(x,t)=0$ 在 $\partial\Omega\times (0,\infty)$ 上，$u(x,0)=u_0$ 在 $\Omega$ 中的解的局部和全局存在性，其中 $\Omega\subset\Bbb{R}^n$ 是有界区域，$\lambda >0$ 是常数，$0\le f\in C^{\alpha}(\overline{\Omega})$, $f\not\equiv 0$, 对于某个常数 $0<\alpha<1$, $0<g\in C^2((-\infty,1))$ 使得对任意 $s<1$ 有 $g'(s)\le 0$, 且 $u_0\in L^1(\Omega)$ 满足 $u_0\le a<1$ 对于某个常数 $a$。我们证明存在常数 $\lambda^{\ast}=\lambda^{\ast}(\Omega, f,g)>0$，使得相关的稳态问题对任意 $0\le\lambda<\lambda^*$ 有解，而对任意 $\lambda>\lambda^*$ 无解。我们得到了广义 MEMS 方程的比较定理。在对初值的一个温和假设下，我们证明了对任意 $0\le\lambda<\lambda^*$，全局解当 $t\to\infty$ 时收敛到相应稳态椭圆方程的解。我们还得到了解 $u$ 存在接触时间 $T>0$ 的各种条件。该时间 $T>0$ 满足 $\lim_{t\nearrow T}\sup_{\Omega}u(\cdot,t)=1$。