非局部MEMS模型的触底解Profile

本文研究的数学模型源于MEMS器件的研究，描述为区间$[0,T)\times\Omega$上的抛物线方程：$$\partial_t v = \Delta v + \frac{\lambda}{(1-v)^2\left( 1 + \gamma \int_{\Omega} \frac{1}{1-v}\, dx \right)^{2}} , \qquad 0 \leq v \leq 1,$$其中$\Omega \subset \mathbb{R}^N$为有界域，$\lambda, \gamma > 0$。我们构造一个具有预定轮廓的解，该解在确切的内点$a \in \Omega$处在有限时间$T$内燃尽。此外，我们能够提供燃尽轮廓的渐近描述。我们将问题重新表述为爆炸问题，以利用1997年Merle, Zaag、2019年Duong, Zaag以及2022年Duong, Ghoul, Kavallaris, Zaag所用技术。证明经历两个主要步骤：化简为有限维动力学系统和运用指数理论进行的经典拓扑论证。主要挑战在于管理非局部积分项，这会在问题转化为爆炸框架时产生额外的梯度项。