非局部 MEMS 模型的触底解剖面

在本文中，我们关注由以下方程在 $(0,T) \times \Omega$ 上给出的 MEMS 器件的数学模型：\begin{eqnarray*} \partial_t u = \Delta u +\displaystyle \frac{\lambda }{ (1-u)^2 \left( 1 +\displaystyle \gamma \int_{\Omega} \frac{1}{1-u} dx \right)^2}, \quad 0 \leq u <1, \end{eqnarray*} 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界域，$\lambda, \gamma > 0$。在这项工作中，我们成功构造了一个仅在唯一内点 $a \in \Omega$ 于有限时间 T 内淬灭的解。特别地，我们依据如下最终剖面给出淬灭行为的描述：$$1 - u(x,T) \sim \theta^*\left[ \frac{|x-a|^2}{|\ln|x-a||} \right]^\frac{1}{3} \text{ as } x \to a, \theta^* > 0.$$ 该构造依赖于淬灭现象与爆破现象之间的某种联系。更确切地说，我们将问题转化为构造一个相关 PDE 的爆破解并描述其行为。证明依赖于两个主要步骤：约化为有限维问题以及基于指标理论的拓扑论证。这项工作的亮点是处理了上述方程中的非局部积分项。有限维参数在爆破点与爆破时间方面的解释使得能够导出所构造解关于初值的稳定性。