欧姆加热过程中一类非局部抛物问题的渐近行为

本文研究具有齐次狄利克雷边界条件的非局部抛物问题 $u_{t}=\Delta u+\displaystyle\frac{\lambda f(u)}{\big(\int_{\Omega}f(u)dx\big)^{p}}, x\in \Omega, t>0$ 的渐近行为，其中 $\lambda>0, p>0$，$f$ 是非增函数。研究发现：(a) 当 $0<p\leq1$ 时，对任意 $\lambda>0$，$u(x,t)$ 全局有界且唯一稳态解全局渐近稳定；(b) 当 $1<p<2$ 时，对任意 $\lambda>0$，$u(x,t)$ 全局有界；(c) 当 $p=2$ 时，若 $0<\lambda<2|\partial\Omega|^2$，则 $u(x,t)$ 全局有界；若 $\lambda=2|\partial\Omega|^2$，则无稳态解，$u(x,t)$ 为全局解且对所有 $x\in\Omega$ 有 $u(x,t)\to\infty$ 当 $t\to\infty$；若 $\lambda>2|\partial\Omega|^2$，则无稳态解且对所有 $x\in\Omega$，$u(x,t)$ 在有限时间内爆破；(d) 当 $p>2$ 时，存在 $\lambda^*>0$ 使得当 $\lambda>\lambda^*$，或当 $0<\lambda\leq\lambda^*$ 且 $u_0(x)$ 充分大时，$u(x,t)$ 在有限时间内爆破。此外，对 $p\geq2$ 的情形，得到了 $u(x,t)$ 爆破行为的一些形式渐近估计。