关于有界域上随机热方程的行为

考虑区间上的如下方程 $$\partial_t u_t(x)=\frac{1}{2}\partial _{xx}u_t(x)+\lambda \sigma(u_t(x))\dot{W}(t,\,x)$$。在 Dirichlet 边界条件下，我们证明，若 $\lambda$ 足够大，则从长远来看解的二阶矩呈指数级增长。但若 $\lambda$ 较小，则二阶矩最终呈指数级衰减。若将 Dirichlet 边界条件替换为 Neumann 边界条件，则无论 $\lambda$ 取何值，二阶矩均呈指数级增长。我们还提供了若干推广。