高无序下的非线性噪声激发与间歇性

考虑区间 $[0\,,1]$ 上的半线性热方程 $\partial_t u = \partial^2_x u + \lambda\sigma(u)\xi$，具有 Dirichlet 零边界条件和一个良好的非随机初始函数，其中强迫项 $\xi$ 为空间 - 时间白噪声，$\lambda>0$ 表示噪声水平。我们表明，当解具有间歇性 [即当 $\inf_z|\sigma(z)/z|>0$ 时]，解的期望 $L^2$-能量在 $\lambda\to\infty$ 时至少以 $\exp\{c\lambda^2\}$ 增长，至多以 $\exp\{c\lambda^4\}$ 增长。在 Dirichlet 边界条件被 Neumann 边界条件取代的情况下，我们证明解的 $L^2$-能量实际上具有尖锐的指数阶 $\exp\{c\lambda^4\}$。我们还表明，对于一大类一维随机强迫波动方程，解的能量在 $\lambda\to\infty$ 时以 $\exp\{c\lambda\}$ 增长。因此，我们观察到一个令人惊讶的结果：随机波动方程通常比其抛物型对应物显著更难被噪声激发。