李幂零结合代数中多个换位子的乘积

设 $F$ 为特征 $\ne 2,3$ 的域，$A$ 为有单位的结合 $F$-代数。递归定义左范换位子 $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ $(a_i \in A)$ 为 $[a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1$，$[a_1, \dots , a_{n-1}, a_n] = [[a_1, \dots , a_{n-1}], a_n]$ $(n \ge 3)$。对于 $n \ge 2$，令 $T^{(n)} (A)$ 为 $A$ 中由所有换位子 $[a_1, a_2, \dots , a_n]$ ($a_i \in A$) 生成的双边理想。定义 $T^{(1)} (A) = A$。设 $k, \ell$ 为满足 $k > 0$，$0 \le \ell \le k$ 的整数。设 $m_1, \dots , m_k$ 为正整数，其中 $\ell$ 个为奇数，$k - \ell$ 个为偶数。令 $N_{k \ell} = \sum_{i=1}^k m_i -2k + \ell + 2$。本短文的目的是证明，对于任意正整数 $m_1, \dots , m_k$，一般地有 $$T^{(m_1)} (A) \dots T^{(m_k)} (A) \nsubseteq T^{(N_{k \ell} +1)} (A).$$ 已知若 $\ell < k$（即至少有一个 $m_i$ 为偶数），则对每个 $A$，有 \begin{equation*} \label{evenabstr} T^{(m_1)} (A) \dots T^{(m_k)} (A) \subseteq T^{(N_{k \ell} )} (A) \end{equation*} 因此当 $\ell <k$ 时我们的结果无法改进。令 $N_k = \sum_{i=1}^k m_i -k+1$。最近 Dangovski 证明了若 $m_1, \dots , m_k$ 为任意正整数，则一般地有 $$T^{(m_1)} (A) \dots T^{(m_k)} (A) \nsubseteq T^{(N_k+1)} (A) .$$ 由于 $N_{k \ell} = N_k - (k - \ell -1)$，当 $\ell = k$ 时 Dangovski 的结果比我们的强，而当 $\ell \le k-2$ 时比我们的弱；若 $\ell = k-1$ 则 $N_k = N_{k (k-1)}$，因此两个结果一致。已知若 $\ell = k$（即所有 $m_i$ 均为奇数），则对每个 $A$，有 \begin{equation*} \label{alloddabstr} T^{(m_1)} (A) \dots T^{(m_k)} (A) \subseteq T^{(N_k)} (A) \end{equation*} 因此在这种情况下 Dangovski 的结果无法改进。