李幂零结合代数中交换子的乘积

设 $F$ 为一个域，令 $F \langle X \rangle$ 为 over $F$ 的自由含幺结合代数，由可数无限集 $X = \{x_1, x_2, \dots \}$ 自由生成。递归定义左赋范交换子 $[a_1, a_2, \dots, a_n]$ 为 $[a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1$，$[a_1, \dots, a_{n-1}, a_n] = [[a_1, \dots, a_{n-1}], a_n]$ $(n \ge 3)$。对于 $n \ge 2$，令 $T^{(n)}$ 为 $F \langle X \rangle$ 中由所有交换子 $[a_1, a_2, \dots, a_n]$ ($a_i \in F \langle X \rangle$) 生成的双边理想。设 $F$ 为特征 $0$ 的域。2008 年 Etingof、Kim 和 Ma 猜想 $T^{(m)} T^{(n)} \subset T^{(m+n -1)}$ 当且仅当 $m$ 或 $n$ 为奇数。2010 年 Bapat 和 Jordan 证实了该猜想的“若”方向：若 $m$、$n$ 中至少有一个为奇数，则 $T^{(m)} T^{(n)} \subset T^{(m + n -1)}$。本札记旨在证实猜想的“仅当”方向。我们证明若 $m = 2 m'$ 且 $n = 2 n'$ 均为偶数，则 $T^{(m)} T^{(n)} \nsubseteq T^{(m +n -1)}$。我们的结果在任意域 $F$ 上成立。