关于结合环中某些换位子乘积的结果

设 $A$ 为含单位元的结合环,令 $T^{(k)}$ 为 $A$ 的由所有换位子 $[a_1, a_2, \dots , a_k]$ $(a_i \in A)$ 生成的双边理想,其中 $[a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1$,$[a_1, \dots , a_{k-1}, a_k] = \bigl[ [a_1, \dots , a_{k-1}], a_k \bigr]$ $(k >2)$。已知若 $m$ 或 $n$ 之一为奇数,则对所有 $a_i, b_j \in A$ 有 $$6 \, [a_1, a_2, \dots , a_m] [b_1, b_2, \dots , b_n] \in T^{(m+n-1)}$$。这由 Sharma 与 Srivastava 于 1990 年证明,后来被不同作者独立重新发现(使用不同证明)。我们此注记旨在给出如下结果的简单证明:若整数 $m,n$ 中至少一个为奇数,则对所有 $a_i, b_j \in A$, $$3 \, [a_1, a_2, \dots , a_m] [b_1, b_2, \dots , b_n] \in T^{(m+n-1)}.$$ 由于已知一般地 $$[a_1, a_2, a_3] [b_1, b_2] \notin T^{(4)},$$ 我们的结果对于所有至少一个为奇数的 $m, n$ 无法进一步改进。