标量型酉最高权表示的Kostant-Sekiguchi对应的几何量子化

对于任何管型Hermite Lie群$G$，我们给出了$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$中某些$K_{\mathbb{C}}$轨道的几何量子化程序，以获得所有标量型最高权表示。这里$K_{\mathbb{C}}$是最大紧子群$K\subseteq G$的复化，对应的Cartan分解为$\mathfrak{g}=\mathfrak{k}+\mathfrak{p}$，其中$\mathfrak{g}$是$G$的李代数。我们在Fock空间上显式实现每个这样的表示$\pi$，该Fock空间由在其关联簇$Ass(\pi)\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$上的平方可积全纯函数构成。关联簇$Ass(\pi)$是单个幂零$K_{\mathbb{C}}$轨道$\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}\subseteq\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}^*$的闭包，该轨道通过Kostant-Sekiguchi对应与一个幂零余伴随$G$轨道$\mathcal{O}^G\subseteq\mathfrak{g}^*$相对应。已知的$\pi$的Schrödinger模型是在$L^2(\mathcal{O})$上的实现，其中$\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}^G$是一个Lagrange子流形。我们构造了一个从Schrödinger模型到新Fock模型的交织算子，即广义Segal-Bargmann变换，它给出了Kostant-Sekiguchi对应的几何量子化（这一概念由Hilgert、Kobayashi、Ørsted和作者本人提出）。我们构造的主要工具是Jordan代数上的多变量$I$和$K$ Bessel函数，它们出现在$\mathcal{O}^{K_{\mathbb{C}}}$的测度中，作为Fock空间的再生核以及Segal-Bargmann变换的积分核。作为我们构造的推论，我们还得到了Schrödinger模型中酉反演算子的积分核（用多变量$J$ Bessel函数表示）以及显式的Whittaker向量。