Hermitian 李群极小表示的 Fock 模型与 Segal-Bargmann 变换

对于任意管型 Hermitian 李群 $G$，我们构造了其极小表示的 Fock 模型。该 Fock 空间定义在 $\mathfrak{p}_\mathbb{C}$ 中的极小幂零 $K_\mathbb{C}$-轨道 $X$ 上，且其 $L^2$-内积以 $K$-Bessel 函数作为密度。这里 $K$ 是 $G$ 的一个极大紧子群，$\mathfrak{g}_\mathbb{C}=\mathfrak{k}_\mathbb{C}+\mathfrak{p}_\mathbb{C}$ 是复化的 Cartan 分解。在此实现下，$\mathfrak{k}$-有限向量空间由 $X$ 上的全纯多项式构成。Fock 空间的再生核以 $I$-Bessel 函数显式计算得出。我们进一步求出了广义 Segal-Bargmann 变换的显式公式，该变换交织了 Schrödinger 模型与 Fock 模型。其核函数包含相同的 $I$-Bessel 函数。利用 Segal-Bargmann 变换，我们还确定了 Schrödinger 模型中幺正反演算子的积分核，该积分核由 $J$-Bessel 函数给出。